Co to jest dystrybucja logarytmiczno-normalna?
Rozkład logarytmiczno-normalny to ciągły rozkład zmiennych losowych, których logarytmy mają rozkład normalny. Innymi słowy, rozkład logarytmiczno- normalny jest generowany przez funkcję e x , gdzie x (zmienna losowa) ma mieć rozkład normalny. W logarytmie naturalnym e x jest x, logarytmy zmiennych losowych o rozkładzie logarytmicznym mają rozkład normalny.
Zmienna X ma rozkład normalny, jeśli Y = ln (X), gdzie ln jest logarytmem naturalnym.
- Y = e x
- Załóżmy, że logarytm naturalny po obu stronach.
- lnY = ln e x, co daje lnY = x
Dlatego możemy powiedzieć, że jeśli X będący zmienną losową ma rozkład normalny, to Y ma rozkład logarytmiczno-normalny.
Formuła rozkładu logarytmiczno-normalnego
Wzór na funkcję gęstości prawdopodobieństwa rozkładu logarytmiczno-normalnego jest określony przez średnią μ i odchylenie standardowe σ, które oznaczamy:
Parametry rozkładu logarytmiczno-normalnego
Rozkład logarytmiczno-normalny charakteryzuje się następującymi trzema parametrami:
- σ , odchylenie standardowe logarytmu rozkładu, nazywane również parametrem kształtu. Parametr kształtu ogólnie wpływa na ogólny kształt rozkładu logarytmiczno-normalnego, ale nie wpływa na położenie i wysokość wykresu.
- m , mediana rozkładu, znana również jako parametr skali.
- Θ , parametr lokalizacji, który służy do lokalizowania wykresu na osi X.
Średnia i odchylenie standardowe to dwa główne parametry rozkładu logarytmiczno-normalnego i są one wyraźnie definiowane przez te dwa parametry.
Poniższy rysunek ilustruje rozkład normalny i rozkład logarytmiczno-normalny.
Z powyższego rysunku możemy zauważyć następujące cechy rozkładu logarytmiczno-normalnego.
- Rozkłady logarytmiczno-normalne są dodatnio odchylone w prawo z powodu niższych średnich wartości i większej wariancji zmiennych losowych w rozważaniach.
- Rozkład logarytmiczno-normalny jest zawsze ograniczony od dołu przez 0, ponieważ pomaga w modelowaniu cen aktywów, które nie powinny mieć ujemnych wartości.
- Rozkład logarytmiczno-normalny jest dodatnio pochylony z dużą liczbą małych wartości i zawiera kilka głównych wartości, co powoduje, że często średnia jest większa niż moda.
Z powyższego rysunku mogliśmy zauważyć, że rozkład logarytmiczno-normalny jest ograniczony przez 0 i jest dodatnio skośny w prawo, co można zauważyć po długim ogonie w prawo. Te dwie obserwacje są uważane za główne właściwości rozkładów log-normalnych. W praktyce rozkłady log-normalne okazały się bardzo pomocne w rozkładzie cen akcji lub aktywów, podczas gdy rozkład normalny jest bardzo przydatny w szacowaniu oczekiwanych zwrotów z aktywów w okresie.
Przykłady rozkładu logarytmiczno-normalnego
Oto kilka przykładów, w których można zastosować rozkłady logarytmiczno-normalne:
- Objętość gazu w rezerwie energii i ropy naftowej.
- Wielkość produkcji mleka.
- Ilość opadów.
- Potencjalne życie jednostek produkcyjnych i przemysłowych, których szanse na przetrwanie charakteryzuje się stopniem stresu.
- Zakres okresów, w których istnieje choroba zakaźna.
Zastosowanie i zastosowania dystrybucji logarytmiczno-normalnej
Poniżej przedstawiono aplikacje i zastosowania rozkładu logarytmiczno-normalnego.
- Najczęściej stosowanym i popularnym rozkładem jest rozkład normalny, który ma rozkład normalny i jest symetryczny i tworzy krzywą w kształcie dzwonu, która modeluje różne naturalne, od prostych do bardzo złożonych.
- Ale są przypadki, w których rozkład normalny napotyka ograniczenia, w których można łatwo zastosować rozkład log-normalny. Rozkład normalny może uwzględniać ujemną zmienną losową, ale rozkład log-normalny przewiduje tylko dodatnie zmienne losowe.
- Jedna z różnych aplikacji, w których rozkład logarytmiczno-normalny jest używany w finansach i jest stosowany do analizy cen aktywów. Oczekiwany zwrot z aktywów jest przedstawiony na wykresie w normalnym rozkładzie, ale ceny aktywów są przedstawione na wykresie w rozkładzie log-normalnym.
- Korzystając z krzywej rozkładu logarytmiczno-normalnego, możemy łatwo obliczyć złożoną stopę zwrotu z aktywów w okresie.
- W przypadku, gdy zastosowaliśmy rozkład normalny do obliczenia cen aktywów w pewnym okresie, istnieje możliwość uzyskania zwrotów poniżej -100%, co następnie zakłada, że ceny aktywów są mniejsze niż 0. Ale jeśli użyjemy rozkładu log-normalnego do oszacowania złożonego stopę zwrotu w pewnym okresie czasu, możemy łatwo zażegnać sytuację uzyskiwania ujemnych zwrotów, ponieważ rozkład log-normalny uwzględnia tylko dodatnie zmienne losowe.
- Cena względna to cena składnika aktywów na koniec okresu podzielona przez cenę początkową składnika aktywów, która jest równa 1 plus zwroty z okresu utrzymywania. Aby znaleźć koniec składnika aktywów w cenie okresu, możemy uzyskać to samo, mnożąc go przez cenę względną i początkową cenę aktywów. Rozkład logarytmiczny przyjmuje tylko wartość dodatnią; w związku z tym cena aktywów na koniec okresu nie może być niższa niż 0.
Rozkład logarytmiczno-normalny w modelowaniu cen akcji
Rozkład logarytmiczno-normalny został wykorzystany do modelowania rozkładu prawdopodobieństwa zapasów i wielu innych cen aktywów. Na przykład zaobserwowaliśmy, że lognormal pojawia się w modelu wyceny opcji Blacka-Scholesa-Mertona, w którym zakłada się, że cena opcji na aktywa bazowe jest rozkładana logicznie w tym samym czasie.
Wniosek
- Rozkład normalny to rozkład prawdopodobieństwa, o którym mówi się, że jest krzywą asymetryczną w kształcie dzwonu. W rozkładzie normalnym 69% wyniku mieści się w zakresie jednego odchylenia standardowego, a 95% mieści się w dwóch odchyleniach standardowych.
- Ze względu na popularność rozkładu normalnego większość ludzi jest zaznajomiona z pojęciem i zastosowaniem rozkładu normalnego, ale w tamtym czasie nie wydają się równie obeznani z pojęciem rozkładu log-normalnego. Rozkład normalny można przekształcić w rozkład logarytmiczno-normalny za pomocą logarytmów, co staje się fundamentalną podstawą, ponieważ rozkłady logarytmiczne uwzględniają jedyną zmienną losową, która ma rozkład normalny.
- Rozkłady log-normalne mogą być używane w połączeniu z rozkładem normalnym. Rozkłady logarytmiczne są wynikiem założenia ln, logarytmu naturalnego, w którym podstawa jest równa e = 2,718. Oprócz podanej podstawy, rozkład logarytmiczno-normalny może być wykonany przy użyciu innej podstawy, która następnie wpłynie na kształt rozkładu logarytmiczno-normalnego.
- Rozkład logarytmiczno-normalny przedstawia logarytm zmiennych losowych o rozkładzie normalnym z krzywych rozkładu normalnego. Ln, log naturalny jest znany e, wykładnik, do którego należy podnieść podstawę, aby uzyskać pożądaną zmienną losową x, którą można znaleźć na krzywej rozkładu normalnego.
