Co to jest krzywa dochodowości Bootstrapping?
Metoda bootstrappingu to metoda konstruowania krzywej dochodowości zerokuponowej. Poniższe przykłady ładowania początkowego zawierają przegląd sposobu konstruowania krzywej dochodowości. Chociaż nie każdą odmianę można wyjaśnić, ponieważ istnieje wiele metod ładowania początkowego ze względu na różnice w stosowanych konwencjach.
3 najważniejsze przykłady krzywej dochodowości metodą bootstrap w programie Excel
Poniżej znajdują się przykłady bootstrappingu krzywej dochodowości w programie Excel.
Przykład 1
Rozważmy różne obligacje o wartości nominalnej 100 USD, z rentownością do terminu zapadalności równą stopie kuponu. Szczegóły kuponu są następujące:
| Dojrzałość | 0,5 roku | 1 rok | 1,5 roku | 2 lata |
| Rentowność do dojrzałości | 3% | 3,50% | 4,50% | 6% |
Rozwiązanie:
Teraz za zerokupon z sześciomiesięcznym terminem zapadalności otrzyma jeden kupon odpowiadający rentowności obligacji. W związku z tym kurs kasowy dla 6-miesięcznej obligacji zerokuponowej wyniesie 3%.
W przypadku 1-letniej obligacji będą dwa przepływy pieniężne po 6 miesiącach i 1 roku.
Przepływ gotówki po 6 miesiącach wyniesie (3,5% / 2 * 100 = 1,75 USD), a przepływ gotówki po 1 roku wyniesie (100 + 1,75 = 101,75 USD), tj. Spłata główna plus płatność kuponowa.
Od 0,5-letniego okresu zapadalności stopa kasowa lub dyskontowa wynosi 3% i przyjmijmy, że stopa dyskontowa dla 1-rocznego terminu zapadalności wynosi x%, to
- 100 = 1,75 / (1 + 3% / 2) 1 + 101,75 / (1 + x / 2) 2
- 100-1,75 / (1 + 3% / 2) = 101,75 / (1 + x% / 2) 2
- 98,2758 = 101,75 / (1 + x% / 2) 2
- (1 + x% / 2) 2 = 101,75 / 98,2758
- (1 + x% / 2) 2 = 1,0353
- 1 + x% / 2 = (1,0353) (1/2)
- 1 + x% / 2 = 1,0175
- x% = (1,0175-1) * 2
- x% = 3,504%
Rozwiązując powyższe równanie otrzymujemy x = 3,504%
Teraz znowu dla dwuletniego terminu zapadalności obligacji,
- 100 = 3 / (1 + 3% / 2) 1 + 3 / (1 + 3,504% / 2) 2 + 3 / (1 + 4,526% / 2) 3 + 103 / (1 + x / 2) 4
- 100 = 2,955665025 + 2,897579405 + 2,805211867 + 103 / (1 + x / 2) 4
- 100-8,658456297 = 103 / (1 + x / 2) 4
- 91,3415437 = 103 / (1 + x / 2) 4
- (1 + x / 2) 4 = 103 // 91,3415437
- (1 + x / 2) 4 = 1,127635858
- (1 + x / 2) = 1,127635858 (1/4)
- (1 + x / 2) = 1,030486293
- x = 1,030486293-1
- x = 0,030486293 * 2
- x = 6,097%
Rozwiązując x otrzymujemy x = 6,097%
Podobnie dla obligacji o terminie zapadalności 1,5 roku
100 = 2,25 / (1 + 3% / 2) 1 + 2,25 / (1 + 3,504 / 2) 2 + 102,25 / (1 + x / 2) 3
Rozwiązując powyższe równanie otrzymujemy x = 4,526%
Zatem, początkowe krzywe zerowej dochodowości będą wyglądać następująco:
| Dojrzałość | Zerowe stawki |
| 0,5 roku | 3% |
| 1 rok | 3,50% |
| 1,5 roku | 4,53% |
| 2 lata | 6,10% |
Przykład nr 2
Rozważmy zbiór obligacji zerokuponowych o wartości nominalnej 100 zł, z terminem zapadalności 6 miesięcy, 9 miesięcy i 1 rok. Obligacje są zerokuponowe, co oznacza, że w okresie ich trwania nie są opłacane żadne kupony. Ceny obligacji są następujące:
| Dojrzałość | Cena ($) | |
| Miesięcy | 6 | 99 |
| Miesięcy | 9 | 98,5 |
| Rok | 1 | 97,35 |
Rozwiązanie:
Biorąc pod uwagę konwencję kursu liniowego,
FV = Cena * (1+ r * t)Gdzie r to stopa zerokuponowa, t to czas
Tak więc na 6-miesięczną kadencję:
- 100 = 99 * (1 + R 6 * 6/12)
- R 6 = (100/99 - 1) * 12/6
- R 6 = 2,0202%
Na 9 miesięcy kadencji:
- 100 = 99 * (1 + R 9 * 6/12)
- R 9 = (100 / 98,5 - 1) * 12/9
- R 9 = 2,0305%
Na 1 rok kadencji:
- 100 = 97,35 * (1 + R 12 * 6/12 )
- R 12 = (100 / 97,35 - 1) * 12/12
- R 12 = 2,7221%
W związku z tym bootstrapped stopy zwrotu z kuponów zerokuponowych będą wynosić:
| Dojrzałość | Kupon zerowy (stawki) |
| 6 miesięcy | 2,02% |
| 9 miesięcy | 2,03% |
| 1 rok | 2,72% |
Należy zauważyć, że różnica między pierwszym a drugim przykładem polega na tym, że w przykładzie 2 uznaliśmy stawki zerokuponowe za liniowe, podczas gdy w przykładzie 1 są one łączone.
Przykład nr 3
Chociaż nie jest to bezpośredni przykład bootstrappingowej krzywej dochodowości, czasami trzeba znaleźć stopę między dwoma terminami zapadalności. Rozważ krzywą zerowej stopy procentowej dla kolejnych terminów zapadalności.
| Dojrzałość | Kupon zerowy (stawki) |
| 6 | 2,50% |
| 1 rok | 3,50% |
| 3 lata | 5% |
| 4 lata | 5,50% |
Teraz, jeśli potrzebna jest stopa zerokuponowa dla 2-letniego terminu zapadalności, musi on liniowo interpolować stawki zerowe od 1 roku do 3 lat.
Rozwiązanie:
Obliczenie stopy dyskontowej zerokuponowej na 2 lata -
Stopa zerokuponowa przez 2 lata = 3,5% + (5% - 3,5%) * (2 - 1) / (3 - 1) = 3,5% + 0,75%
Stawka zerokuponowa na 2 lata = 4,25%
W związku z tym zerokuponowa stopa dyskontowa, która zostanie zastosowana dla obligacji dwuletnich, wyniesie 4,25%
Wniosek
Przykłady bootstrap dają wgląd w to, jak obliczane są stawki zerowe dla wyceny obligacji i innych produktów finansowych. Aby prawidłowo wyliczyć stawki zerowe, trzeba poprawnie spojrzeć na konwencje rynkowe.
