Formuła do obliczenia standardowego rozkładu normalnego
Standardowy rozkład normalny to rodzaj rozkładu prawdopodobieństwa, który jest symetryczny względem średniej lub średniej, pokazując, że dane zbliżone do średniej lub średniej występują częściej w porównaniu z danymi, które są dalekie od średniej lub średniej. Wynik w standardowym rozkładzie normalnym można nazwać „wynikiem Z”.
Standardowy wzór rozkładu normalnego przedstawiono poniżej:
Z - wynik = (X - µ) / σ
Gdzie,
- X to normalna zmienna losowa
- µ jest średnią lub średnią
- σ to odchylenie standardowe
Następnie musimy wyprowadzić prawdopodobieństwo z powyższej tabeli.
Wyjaśnienie
Standardowy rozkład normalny w słowach kolejności określanych jako rozkład Z ma następujące właściwości:
- Ma średnią lub mówi, że średnia wynosi zero.
- Ma odchylenie standardowe, które jest równe 1.
Korzystając ze standardowej tabeli normalnych, możemy znaleźć obszary pod krzywą gęstości. Z-score obciąża standardowy rozkład normalny i powinien być interpretowany jako liczba odchyleń standardowych, w których punkt danych znajduje się poniżej lub powyżej średniej lub średniej.
Ujemny wynik Z wskazuje wynik poniżej średniej lub średniej, a dodatni wynik Z wskazuje, że punkt danych jest powyżej średniej lub średniej.
Standardowy rozkład normalny jest zgodny z regułą 68-95-99,70, zwaną również regułą empiryczną, i zgodnie z nią Sześćdziesiąt osiem procent podanych danych lub wartości mieści się w zakresie 1 odchylenia standardowego średniej lub średniej, podczas gdy dziewięćdziesiąt pięć procent mieści się w granicach 2 odchyleń standardowych, a wreszcie dziewięćdziesiąt dziewięć dziesiętnych siedmiu procent wartości lub danych mieści się w granicach 3 odchyleń standardowych średniej lub średniej.
Przykłady
Przykład 1
Rozważ podaną ci średnią 850, odchylenie standardowe jako 100. Musisz obliczyć standardowy rozkład normalny dla wyniku powyżej 940.
Rozwiązanie:
Użyj następujących danych do obliczenia standardowego rozkładu normalnego.
Tak więc obliczenie wyniku z można wykonać w następujący sposób:
Z - wynik = (X - µ) / σ
= (940 - 850) / 100
Wynik Z wyniesie -
Punktacja Z = 0,90
Korzystając teraz z powyższej tabeli standardowego rozkładu normalnego, mamy wartość 0,90 jako 0,8159 i musimy obliczyć wynik powyżej tego, który jest P (Z> 0,90).
Potrzebujemy właściwej drogi do stołu. Stąd prawdopodobieństwo wyniosłoby 1 - 0,8159, co jest równe 0,1841.
Zatem tylko 18,41% wyników znajduje się powyżej 940.
Przykład nr 2
Sunita uczęszcza na prywatne lekcje matematyki, a obecnie ma około 100 studentów. Po pierwszym teście, który zrobiła dla swoich uczniów, otrzymała następujące średnie liczby, uzyskane przez nich i uszeregowała je w percentylach.
Rozwiązanie:
Najpierw wykreślamy to, na co mamy cel, czyli lewą stronę leku. P (Z <75).
Użyj następujących danych do obliczenia standardowego rozkładu normalnego.
W tym celu musimy najpierw obliczyć średnią i odchylenie standardowe.
Obliczenie średniej można wykonać w następujący sposób:
Średnia = (98 + 40 + 55 + 77 + 76 + 80 + 85 + 82 + 65 + 77) / 10
Średnia = 73,50
Obliczenie odchylenia standardowego można wykonać w następujący sposób:
Odchylenie standardowe = √ (∑ (x - x) / (n-1))
Odchylenie standardowe = 16,38
Tak więc obliczenie wyniku z można wykonać w następujący sposób:
Z - wynik = (X - µ) / σ
= (75 - 73,50) / 16,38
Wynik Z wyniesie -
Punktacja Z = 0,09
Korzystając teraz z powyższej tabeli standardowego rozkładu normalnego, mamy wartość 0,09 jako 0,5359 i jest to wartość dla P (Z <0,09).
Stąd 53,59% uczniów uzyskało wyniki poniżej 75.
Przykład nr 3
Vista Limited to salon sprzedaży sprzętu elektronicznego. Chce przeanalizować swoje zachowania konsumenckie. W całym mieście ma około 10 000 klientów. Średnio klient wydaje na swój sklep 25 tys. Jednak wydatki różnią się znacznie, ponieważ klienci wydają od 22 000 do 30 000, a średnia tej rozbieżności około 10 000 klientów, którą wymyśliło zarządzanie vista limited, wynosi około 500.
Kierownictwo Vista Limited zwróciło się do Ciebie i chciałoby dowiedzieć się, jaka część ich klientów wydaje ponad 26 000? Załóżmy, że dane dotyczące wydatków klientów rozkładają się normalnie.
Rozwiązanie:
Najpierw wykreślamy to, na co mamy cel, czyli lewą stronę leku. P (Z> 26000).
Użyj następujących danych do obliczenia standardowego rozkładu normalnego.
Obliczenie wyniku z można wykonać w następujący sposób:
Z - wynik = (X - µ) / σ
= (26000 - 25000) / 500
Wynik Z będzie-
Wynik Z = 2
Obliczenie standardowego rozkładu normalnego można wykonać w następujący sposób:
Standardowy rozkład normalny będzie:
Korzystając teraz z powyższej tabeli standardowego rozkładu normalnego, mamy wartość 2,00, czyli 0,9772, a teraz musimy obliczyć dla P (Z> 2).
Potrzebujemy właściwej drogi do stołu. Stąd prawdopodobieństwo wyniosłoby 1 - 0,9772, co jest równe 0,0228.
Stąd 2,28% konsumentów wydaje powyżej 26000.
Trafność i zastosowanie
Aby podjąć świadomą i właściwą decyzję, należy wszystkie wyniki przeliczyć na podobną skalę. Należy ustandaryzować te wyniki, konwertując je wszystkie na standardowy rozkład normalny metodą Z-score, z jednym odchyleniem standardowym i jedną średnią lub średnią. Przeważnie jest to używane w dziedzinie statystyki, a także w dziedzinie finansów, które również są wykorzystywane przez handlowców.
Wiele teorii statystycznych próbowało modelować ceny aktywów (w dziedzinach finansów) przy głównym założeniu, że będą one zgodne z tego rodzaju rozkładem normalnym. Rozkłady cen mają przeważnie grubsze ogony, a tym samym kurtozę, która jest większa niż 3 w rzeczywistych scenariuszach. Zaobserwowano, że takie aktywa charakteryzują się ruchami cenowymi, które są większe niż 3 odchylenia standardowe powyżej średniej lub średniej i częściej niż oczekiwane założenie w normalnym rozkładzie.
