Wzór testu Z w statystykach - Obliczenia krok po kroku (przykłady)

Spisie treści

Wzór do obliczenia testu Z w statystykach

Wzór do obliczenia testu Z w statystykach

Test Z w statystyce odnosi się do testu hipotez, który służy do określenia, czy obliczone średnie z dwóch próbek są różne, w przypadku gdy odchylenia standardowe są dostępne, a próbka jest duża.

Z = (x - μ) / ơ

gdzie x = dowolna wartość z populacji

μ = średnia populacji
ơ = odchylenie standardowe populacji

W przypadku próbki wzór na statystyki wartości testu z oblicza się odejmując średnią z próbki od wartości x. Następnie wynik dzieli się przez odchylenie standardowe próbki. Matematycznie jest reprezentowany jako

Z = (x - x_mean ) / s

gdzie

x = dowolna wartość z próbki
x_mean = próbka średnia
s = odchylenie standardowe próbki

Obliczanie testu Z (krok po kroku)

Wzór na statystyki testu z dla populacji jest wyprowadzany przy użyciu następujących kroków:

Krok 1: Najpierw obliczyć średnie populacji i odchylenie standardowe populacji na podstawie obserwacji zawartej w średniej populacji, a każda obserwacja jest oznaczana przez x _i . Całkowita liczba obserwacji w populacji jest oznaczona przez N.

Średnia liczba ludności,

Odchylenie standardowe populacji,

Krok 2: Na koniec statystyki testu z są obliczane przez odjęcie średniej populacji od zmiennej, a następnie wynik jest dzielony przez odchylenie standardowe populacji, jak pokazano poniżej.

Z = (x - μ) / ơ

Wzór na statystyki testu z dla próbki jest wyprowadzany przy użyciu następujących kroków:

Krok 1: Najpierw obliczyć średnią próbki i odchylenie standardowe próbki tak samo jak powyżej. Tutaj całkowita liczba obserwacji w próbie jest oznaczona przez n tak, że n <N.

Próbka średnia,

Odchylenie standardowe próbki,

Krok 2: Na koniec statystyka testu z jest obliczana poprzez odjęcie średniej z próby od wartości x, a następnie wynik jest dzielony przez odchylenie standardowe próbki, jak pokazano poniżej.

Z = (x - x_mean ) / s

Przykłady

Przykład 1

Załóżmy, że populacja uczniów w szkole przyszła na sprawdzian klasowy. Średni wynik w teście to 75, a odchylenie standardowe to 15. Określ wynik testu z dla Davida, który uzyskał 90 punktów w teście.

Dany,

Średnia populacji, μ = 75
Odchylenie standardowe populacji, ơ = 15

Dlatego statystyki testu z można obliczyć jako:

Z = (90 - 75) / 15

Statystyki testu Z będą -

Z = 1

Dlatego wynik testu Davida jest o jedno odchylenie standardowe powyżej średniego wyniku populacji, tj. Zgodnie z tabelą z-score 84,13% uczniów uzyskało wynik niższy niż David.

Przykład nr 2

Weźmy przykład 30 uczniów wybranych jako część próbnego zespołu do ankiety, aby sprawdzić, ile ołówków było używanych w ciągu tygodnia. Ustalić wynik Z testów na 3 ^-ciej studenta na podstawie danych odpowiedzi: 3, 2, 5, 6, 4, 7, 4, 3, 3, 8, 3, 1, 3, 6, 5, 2, 4, 3, 6, 4, 5, 2, 2, 4, 4, 2, 8, 3, 6, 7.

Dany,

x = 5, ponieważ 3 ^rd odpowiedzi studenta, jest 5
Wielkość próby, n = 30

Średnia próbna, = (3 + 2 + 5 + 6 + 4 + 7 + 4 + 3 + 3 + 8 + 3 + 1 + 3 + 6 + 5 + 2 + 4 + 3 + 6 + 4 + 5 + 2 + 2 + 4 + 4 + 2 + 8 + 3 + 6 + 7) / 30

Średnia = 4,17

Teraz odchylenie standardowe próbki można obliczyć za pomocą powyższego wzoru.

ơ = 1,90

Dlatego też, score test dla 3 ^-ciej student może być obliczone jak

Z = (x - x) / s

Z = (5-17) / 1,90
Z = 0,44

Dlatego, 3 ^rd Wykorzystanie studenta jest 0,44 raza odchylenia standardowe powyżej średniej zużycia próbki tj za Z- tabeli najlepszych wyników, 67% studentów używać ołówków mniej niż 3 ^rd studenta.

Przykład nr 3

Poniżej podano dane do obliczenia statystyk testu Z.

Możesz zapoznać się z poniższym arkuszem Excela, aby uzyskać szczegółowe obliczenia statystyk testu Z.

Trafność i zastosowania

Niezbędne jest zrozumienie pojęcia statystyki testu z, ponieważ jest ono zwykle używane zawsze, gdy jest dyskusyjne, czy statystyka testowa jest zgodna z rozkładem normalnym w ramach danej hipotezy zerowej. Należy jednak pamiętać, że test z jest stosowany tylko wtedy, gdy wielkość próbki jest większa niż 30; w przeciwnym razie stosowany jest test t.