Funkcja Totient Eulera - znaczenie, przykłady, jak obliczyć?

Co to jest funkcja Totient Eulera?

Funkcja Totient Eulera to matematyczne funkcje multiplikatywne, które zliczają dodatnie liczby całkowite do podanej liczby całkowitej nazywanej ogólnie `` n '', która jest liczbą pierwszą do `` n '', a funkcja służy do poznania liczby liczb pierwszych, które istnieją do dana liczba całkowita „n”.

Wyjaśnienie

Aby dowiedzieć się, ile liczb pierwszych dochodzi do danej liczby całkowitej „n”, należy użyć funkcji totalnej Eulera. Nazywa się to również funkcją arytmetyczną. W przypadku aplikacji lub korzystania z funkcji Totient Eulera ważne są dwie rzeczy. Jedna jest taka, że ​​gcd utworzone z danej liczby całkowitej „n” powinno być mnożone względem siebie, a druga to liczby gcd powinny być tylko liczbami pierwszymi. Liczba całkowita „n” w tym przypadku powinna być większa niż 1. Z ujemnej liczby całkowitej nie można obliczyć funkcji sumarycznej Eulera. Zasada w tym przypadku jest taka, że ​​dla ϕ (n) mnożniki zwane m i n powinny być większe niż 1. Stąd oznaczamy je 1

Historia

Euler wprowadził tę funkcję w 1763 r. Początkowo Euler używał greckiego π do oznaczenia funkcji, ale z powodu pewnych problemów jego denotacja greckiego π nie została uznana. I nie udało mu się nadać mu właściwego znaku, tj. Φ. Dlatego funkcji nie można wprowadzić. Co więcej, ϕ zostało zaczerpnięte z 1801 Disquisitiones Arithmeticae Gaussa. Funkcja jest również określana jako funkcja phi. Ale JJ Sylvester w 1879 r. Zawarł termin totient dla tej funkcji ze względu na właściwości i zastosowania funkcji. Różne reguły są ujęte w ramkach, aby zajmować się różnymi rodzajami liczb całkowitych, np. Jeśli liczba całkowita p jest liczbą pierwszą, to która reguła ma być zastosowana itp. Wszystkie reguły są ujęte w ramkach Eulera są praktyczne i mogą być używane nawet dzisiaj, gdy mamy do czynienia z podobnie.

Własności funkcji Totient Eulera

Istnieje kilka różnych właściwości. Niektóre właściwości funkcji totient Eulera są następujące:

  • Φ jest symbolem używanym do oznaczenia funkcji.
  • Funkcja dotyczy teorii liczb pierwszych.
  • Funkcja ma zastosowanie tylko w przypadku dodatnich liczb całkowitych.
  • Dla ϕ (n) należy znaleźć dwie multiplikatywne liczby pierwsze do obliczenia funkcji.
  • Funkcja jest funkcją matematyczną i jest użyteczna na wiele sposobów.
  • Jeśli liczba całkowita „n” jest liczbą pierwszą, to gcd (m, n) = 1.
  • Funkcja działa na formule 1 <m <n, gdzie m i n są liczbami pierwszymi i mnożnikami.
  • Ogólnie równanie to
Φ (mn) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • Funkcja w zasadzie zlicza liczbę dodatnich liczb całkowitych mniejszą niż podana liczba całkowita, która jest liczbami pierwszymi względnymi względem podanej liczby całkowitej.
  • Jeśli dana liczba całkowita p jest liczbą pierwszą, to ϕ (p) = p - 1
  • Jeśli potęga p jest liczbą pierwszą, to jeśli a = p n jest potęgą pierwszą, to ϕ (p n ) = p n - p (n-1)
  • ϕ (n) nie jest jeden - jeden
  • ϕ (n) nie jest włączone.
  • ϕ (n), n> 3 jest zawsze parzyste.
  • ϕ (10 n ) = 4 * 10 n-1

Oblicz funkcję Totient Eulera

Przykład 1

Obliczyć ϕ (7)?

Rozwiązanie:

ϕ (7) = (1,2,3,4,5,6) = 6

Ponieważ wszystkie liczby mają liczbę pierwszą do 7, dzięki temu obliczenie jest łatwe.

Przykład nr 2

Obliczyć ϕ (100)?

Rozwiązanie:

Ponieważ 100 to duża liczba, obliczenie od 1 do 100 liczb pierwszych, które są liczbami pierwszymi za pomocą 100, jest czasochłonne. Dlatego stosujemy poniższy wzór:

  • ϕ (100) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5)
  • = 100 * 1/2 * 4/5
  • = 40

Przykład nr 3

Obliczyć ϕ (240)?

Wielokrotności liczby 240 to 16 * 5 * 3, czyli 2 4 * 5 * 3

  • ϕ (240) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (240) = 2 4 * 5 * 3

jeśli n M nie jest liczbą pierwszą, używamy n m - n m-1

  • = (2 4 - 2 (4-1) ) * (5 1 - 5 (1-1) ) * (3 1 - 3 (1-1) )
  • = (2 4 - 2 3 ) * (5 - 1) * (3 - 1)
  • = 64

Przykład 4

Obliczyć ϕ (49)?

  • ϕ (49) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1-1 / n)
  • ϕ (49) = ϕ (7) * ϕ (7)
  • = (7 1 - 7 (1-1) ) * (7 1 - 7 (1-1) )
  • = (7-1) * (7-1)
  • = 6 * 6
  • = 36

Aplikacje

Różne aplikacje są jak poniżej:

  • Funkcja służy do zdefiniowania systemu szyfrowania RSA używanego do szyfrowania bezpieczeństwa w Internecie.
  • Używany w teorii liczb pierwszych.
  • Używany również w dużych obliczeniach.
  • Używany w zastosowaniach elementarnej teorii liczb.

Wniosek

Funkcja totientów Eulera jest użyteczna na wiele sposobów. Jest używany w systemie szyfrowania RSA, który jest używany ze względów bezpieczeństwa. Funkcja ta dotyczy teorii liczb pierwszych i jest przydatna również w obliczeniach dużych obliczeń. Funkcja jest również używana w obliczeniach algebraicznych i liczbach elementarnych. Symbol używany do oznaczenia funkcji to ϕ i jest również nazywany funkcją phi. Funkcja składa się z bardziej teoretycznego zastosowania niż praktycznego zastosowania. Praktyczne wykorzystanie funkcji jest ograniczone. Funkcję można lepiej zrozumieć na podstawie różnych praktycznych przykładów, a nie tylko teoretycznych wyjaśnień. Istnieją różne zasady obliczania funkcji sumy Eulera, a dla różnych liczb należy stosować różne zasady. Funkcja została po raz pierwszy wprowadzona w 1763 roku, ale z powodu pewnych problemówuznano ją w 1784 r., a nazwę zmieniono w 1879 r. Funkcja jest funkcją uniwersalną i może być stosowana wszędzie.

Interesujące artykuły...