Co to jest krzywa dzwonowa?
Krzywa Bell to normalny rozkład prawdopodobieństwa zmiennych, który jest wykreślany na wykresie i przypomina kształt dzwonka, w którym najwyższy lub najwyższy punkt krzywej przedstawia najbardziej prawdopodobne zdarzenie spośród wszystkich danych w serii.
Wzór na krzywą dzwonową jak poniżej:
Gdzie,
- μ jest średnią
- σ to odchylenie standardowe
- π wynosi 3,14159
- e wynosi 2,71828
Wyjaśnienie
- Średnia jest oznaczona przez μ, co oznacza środek lub środek rozkładu.
- Pozioma symetria względem pionowej linii, która wynosi x = μ, ponieważ wykładnik jest kwadratowy.
- Odchylenie standardowe jest oznaczone σ i jest związane z rozprzestrzenianiem się rozkładu. Wraz ze wzrostem σ rozkład normalny będzie się bardziej rozprzestrzeniał. W szczególności szczyt rozkładu nie jest tak wysoki, a ogon rozkładu powinien stać się grubszy.
- π jest stałą pi i ma nieskończoność, która nie jest powtarzającym się rozwinięciem dziesiętnym.
- E reprezentuje inną stałą, a także jest transcendentalne i irracjonalne, jak pi.
- W wykładniku znajduje się znak niedodatni, a pozostałe wyrażenia są podniesione do kwadratu w wykładniku. Co oznacza, że wykładnik zawsze będzie ujemny. Z tego powodu funkcja jest funkcją rosnącą dla wszystkich x średnia μ.
- Inna pozioma asymptota odpowiada poziomej linii y, która jest równa 0, co oznaczałoby, że wykres funkcji nigdy nie dotknie osi x i będzie miał zero.
- Pierwiastek kwadratowy w wyrazie Excela znormalizuje formułę, co oznacza, że gdy integruje się funkcję przeszukiwania obszaru pod krzywą, gdzie cały obszar będzie pod krzywą, to jest jeden, co odpowiada 100%.
- Ten wzór jest powiązany z rozkładem normalnym i służy do obliczania prawdopodobieństw.
Przykłady
Przykład 1
Rozważ podaną ci średnią 950, odchylenie standardowe 200. Musisz obliczyć y dla x = 850, używając równania krzywej dzwonowej.
Rozwiązanie:
Użyj następujących danych do obliczeń.
Po pierwsze, otrzymujemy wszystkie wartości, tj. Średnią 950, odchylenie standardowe 200 i x 850. Wystarczy wpisać liczby do wzoru i spróbować obliczyć y.
Wzór na krzywą w kształcie dzwonu, jak poniżej:
y = 1 / (200√2 * 3,14159) e - (850 - 950) / 2 * (200 2)
będziesz -
y = 0,0041
Po wykonaniu powyższej matematyki (sprawdź szablon Excela), mamy wartość y równą 0,0041.
Przykład nr 2
Sunita jest biegaczką i przygotowuje się do zbliżających się igrzysk olimpijskich i chce ustalić, czy wyścig, w którym będzie startować, ma doskonałe obliczenia czasowe, ponieważ podzielone opóźnienie może zapewnić jej złoto na igrzyskach olimpijskich. Jej brat jest statystykiem i zauważył, że średni czas dla jej siostry to 10,33 sekundy, podczas gdy standardowe odchylenie jej czasu wynosi 0,57 sekundy, co jest dość ryzykowne, ponieważ takie opóźnienie może spowodować, że zdobędzie złoto na igrzyskach olimpijskich. Korzystając z równania krzywej w kształcie dzwonu, jakie jest prawdopodobieństwo, że Sunita ukończy wyścig w 10,22 sekundy?
Rozwiązanie:
Użyj następujących danych do obliczeń.
Najpierw otrzymujemy wszystkie wartości, tj. Średnią 10,33 sekundy, odchylenie standardowe 0,57 sekundy i x 10,22. Wystarczy wpisać liczby do wzoru i spróbować obliczyć y.
Wzór na krzywą dzwonową jak poniżej:
y = 1 / (0,57√2 * 3,14159) e - (850 - 950) / 2 * (200 2)
będziesz -
y = 0,7045
Po wykonaniu powyższej matematyki (sprawdź szablon Excela), mamy wartość y jako 0,7045.
Przykład nr 3
Hari-baktii Limited jest firmą audytorską. Niedawno przeszedł ustawowy audyt banku ABC i zauważył, że w ciągu ostatnich kilku audytów wybrali niewłaściwą próbę, która wprowadzała w błąd populację, na przykład w przypadku należności, próbę, którą pobrali przedstawiał, że wierzytelność była prawdziwa, ale później odkryto, że populacja należności miała wiele fikcyjnych wpisów.
Więc teraz próbują przeanalizować, jakie jest prawdopodobieństwo pobrania złej próby, co uogólniłoby populację jako poprawną, mimo że próbka nie byłaby poprawną reprezentacją tej populacji. Mają asystenta artykułu, który jest dobry w statystykach, a ostatnio nauczył się o równaniu krzywej dzwonowej.
Postanawia więc użyć tego wzoru, aby znaleźć prawdopodobieństwo pobrania co najmniej siedmiu nieprawidłowych próbek. Wszedł do historii firmy i stwierdził, że średnia niepoprawna próbka, którą pobierają z populacji, wynosi od 5 do 10, a odchylenie standardowe wynosi 2.
Rozwiązanie:
Użyj następujących danych do obliczeń.
Najpierw musimy wziąć średnią z dwóch podanych liczb, tj. Dla średniej równej (5 + 10) / 2, czyli 7,50, odchylenia standardowego jako 2 i x jako 7, wystarczy wstawić liczby do wzór i spróbuj obliczyć y.
Wzór na krzywą dzwonową jak poniżej:
y = 1 / (2√2 * 3,14159) e - (7 - 7,5) / 2 * (2 2)
będziesz -
y = 0,2096
Po wykonaniu powyższej matematyki (sprawdź szablon Excela), mamy wartość y jako 0,2096
Jest więc 21% szans, że tym razem również oni mogli pobrać 7 nieprawidłowych próbek do audytu.
Trafność i zastosowania
Ta funkcja posłuży do opisania zdarzeń fizycznych, tj. Liczba zdarzeń jest ogromna. Mówiąc prościej, można nie być w stanie przewidzieć, jaki będzie wynik elementu, jeśli jest cała masa obserwacji, ale można przewidzieć, co zrobią one w całości. Weźmy przykład, przypuśćmy, że ktoś ma dzban z gazem o stałej temperaturze, rozkład normalny lub krzywa dzwonowa pozwoli tej osobie obliczyć prawdopodobieństwo, że jedna cząstka poruszy się z określoną prędkością.
Analityk finansowy często używa normalnego rozkładu prawdopodobieństwa lub wypowiada krzywą dzwonową podczas analizy zwrotów ogólnej wrażliwości rynku lub papierów wartościowych.
Np. Akcje, które wyświetlają krzywą dzwonową, to zazwyczaj akcje blue chipów, które będą charakteryzować się mniejszą zmiennością i często bardziej przewidywalnymi wzorcami zachowań. W związku z tym wykorzystują normalny rozkład prawdopodobieństwa lub krzywą dzwonową poprzednich zwrotów akcji, aby przyjąć założenia dotyczące oczekiwanych zwrotów.
