Wzór do obliczenia wariancji populacji
Formuła wariancji populacji jest miarą średnich odległości danych populacyjnych i jest obliczana poprzez ustalenie średniej formuły populacyjnej, a wariancja jest obliczana przez sumę kwadratu zmiennych minus średnia podzielona przez liczbę obserwacji w populacji.
Wariancja populacji jest miarą rozprzestrzeniania się danych dotyczących populacji. W związku z tym wariancję populacji można zdefiniować jako średnią odległości od każdego punktu danych w określonej populacji do średniej kwadratowej i wskazuje, w jaki sposób punkty danych są rozłożone w populacji. Wariancja populacji jest ważną miarą rozproszenia używaną w statystykach. Statystycy obliczają wariancję, aby określić, w jaki sposób poszczególne liczby w zestawie danych odnoszą się do siebie.
Obliczając wariancję populacyjną, dyspersję oblicza się w odniesieniu do średniej populacji. Dlatego musimy znaleźć średnią populacyjną, aby obliczyć wariancję populacji. Jednym z najpopularniejszych powiadomień o wariancji populacji jest σ 2 . Jest to wymawiane jako sigma do kwadratu.
Wariancję populacji można obliczyć za pomocą następującego wzoru:
σ 2 = ∑ n i = 1 (x i - μ) 2 / N
gdzie
- σ 2 to wariancja populacji,
- x 1, x 2 , x 3, … x n to obserwacje
- N to liczba obserwacji,
- µ jest średnią zbioru danych
Obliczanie wariancji populacji krok po kroku
Wzór na wariancję populacji można obliczyć, wykonując pięć następujących prostych kroków:
- Krok 1: Oblicz średnią (µ) podanych danych. Aby obliczyć średnią, dodaj wszystkie obserwacje, a następnie podziel to przez liczbę obserwacji (N).
- Krok 2: Zrób stół. Należy pamiętać, że tworzenie tabeli nie jest obowiązkowe, ale przedstawienie jej w formie tabelarycznej ułatwiłoby obliczenia. W pierwszej kolumnie zapisz każdą obserwację (x 1, x 2 , x 3, … x n ).
- Krok 3: W drugiej kolumnie zapisz odchylenie każdej obserwacji od średniej (x i - µ).
- Krok 4: W trzeciej kolumnie zapisz kwadrat każdej obserwacji ze średniej (x i - µ) 2 . Innymi słowy, ustaw do kwadratu każdą z liczb uzyskanych w kolumnie 2.
- Krok 5: Następnie musimy dodać liczby uzyskane w trzeciej kolumnie. Znajdź sumę kwadratów odchyleń i podziel otrzymaną w ten sposób sumę przez liczbę obserwacji (N). Pomoże nam to w uzyskaniu
wariancji populacji.
Przykłady
Przykład 1
Obliczyć wariancję populacji na podstawie następujących 5 obserwacji: 50, 55, 45, 60, 40.
Rozwiązanie:
Skorzystaj z poniższych danych do obliczenia wariancji populacji.
W sumie jest 5 obserwacji. Stąd N = 5.
µ = (50 + 55 + 45 + 60 + 40) / 5 = 250/5 = 50
Zatem obliczenie wariancji populacji σ 2 można wykonać w następujący sposób:
σ 2 = 250/5
Wariancja populacji σ 2 będzie:
Wariancja populacji (σ 2 ) = 50
Wariancja populacji wynosi 50.
Przykład nr 2
XYZ Sp. Z oo to mała firma zatrudniająca zaledwie 6 pracowników. Prezes uważa, że nie powinno być dużego zróżnicowania wynagrodzeń tych pracowników. W tym celu chce, abyś obliczył wariancję tych wynagrodzeń. Wynagrodzenia tych pracowników są jak poniżej. Oblicz wariancję wynagrodzeń prezesa w populacji.
Rozwiązanie:
Skorzystaj z poniższych danych do obliczenia wariancji populacji.
W sumie jest 6 obserwacji. Stąd N = 6.
= (30 + 27 + 20 + 40 + 32 + 31) / 6 = 180/6 = 30 USD
Zatem obliczenie wariancji populacji σ 2 można wykonać w następujący sposób:
σ 2 = 214/6
Wariancja populacji σ 2 będzie:
Wariancja populacji (σ 2 ) = 35,67
Populacja płac wynosi 35,67.
Przykład nr 3
Sweet Juice Ltd produkuje różne smaki soków. Dział Zarządzania kupuje 7 dużych pojemników do przechowywania tego soku w fabryce. Dział Kontroli Jakości zdecydował, że odrzuci pojemniki, jeśli odchylenie pojemników jest większe niż 10. Podane są wagi 7 pojemników w kg: 105, 100, 102, 95, 100, 98 i 107. Prosimy o poinformowanie Dział Kontroli Jakości, czy powinien odrzucić pojemniki.
Rozwiązanie:
Skorzystaj z poniższych danych do obliczenia wariancji populacji.
W sumie jest 7 obserwacji. Stąd N = 7
= (105 + 100 + 102 + 95 + 100 + 98 + 107) / 7 = 707/7 = 101
Zatem obliczenie wariancji populacji σ 2 można wykonać w następujący sposób:
σ 2 = 100/7
Wariancja populacji σ 2 będzie:
Wariancja populacji (σ 2 ) = 14,29
Ponieważ wariancja (14,29) jest większa niż limit 10 określony przez Dział Kontroli Jakości, pojemniki powinny zostać odrzucone.
Przykład 4
Kierownictwo szpitala o nazwie Sagar Healthcare odnotowało, że w pierwszym tygodniu marca 2019 r. Urodziło się 8 dzieci. Lekarz chciał ocenić stan zdrowia dzieci, a także zróżnicowanie wzrostu. Wysokość tych maluszków to: 48 cm, 47 cm, 50 cm, 53 cm, 50 cm, 52 cm, 51 cm, 60 cm. Oblicz wariancję wzrostu tych 8 dzieci.
Rozwiązanie:
Skorzystaj z poniższych danych do obliczenia wariancji populacji.
Zatem obliczenie wariancji populacji σ 2 można wykonać w następujący sposób:
W programie Excel istnieje wbudowana formuła wariancji populacji, której można użyć do obliczenia wariancji populacji dla grupy liczb. Wybierz pustą komórkę i wpisz tę formułę = VAR.P (B2: B9). Tutaj B2: B9 to zakres komórek, z których chcesz obliczyć wariancję populacji.
Wariancja populacji σ 2 będzie:
Wariancja populacji (σ 2 ) = 13,98
Trafność i zastosowanie
Wariancja populacji jest używana jako miara dyspersji. Rozważmy dwa zbiory populacji z tą samą średnią i liczbą obserwacji. Zestaw danych 1 składa się z 5 liczb - 55, 50, 45, 50 i 50. Zestaw danych 2 składa się z 10, 50, 85, 90 i 15. Oba zbiory danych mają tę samą średnią, która wynosi 50. Ale, w zestawie danych 1 wartości są blisko siebie, podczas gdy zestaw danych 2 ma wartości rozproszone. Wariancja daje naukową miarę tej bliskości / rozproszenia. Zestaw danych 1 ma wariancję tylko 10, podczas gdy zestaw danych 2 ma ogromną wariancję 1130. Zatem duża wariancja wskazuje, że liczby są dalekie od średniej i od siebie nawzajem. Mała wariancja wskazuje, że liczby są blisko siebie.
Wariancja jest wykorzystywana w obszarze zarządzania portfelem podczas przeprowadzania alokacji aktywów. Inwestorzy obliczają wariancję zwrotu z aktywów, aby określić optymalne portfele, optymalizując dwa główne parametry - zwrot i zmienność. Zmienność mierzona wariancją jest miarą ryzyka określonego zabezpieczenia finansowego.
