Co to jest rozkład Poissona?
W statystyce rozkład Poissona odnosi się do funkcji rozkładu, która jest używana do analizy wariancji, która powstaje w stosunku do wystąpienia określonego zdarzenia średnio w każdym z przedziałów czasowych, tj. Używając tego można znaleźć prawdopodobieństwo jednego zdarzenia w określonym czas zdarzenia i wariancja w stosunku do średniej liczby wystąpień.
Równanie rozkładu Poissona podano poniżej:
P (x; u) = (e -u ) * (u x ) / x!
Gdzie
- u = średnia liczba wystąpień w okresie
- P (x; u) = prawdopodobieństwo x liczby wystąpień w okresie
- X = liczba wystąpień, dla których należy znać prawdopodobieństwo
Wyjaśnienie
Wzór jest następujący:
P (x; u) = (e -u). (U x) / x!
Gdzie
- u = średnia liczba wystąpień w okresie
- X = liczba wystąpień, dla których należy znać prawdopodobieństwo
- P (x; u) = prawdopodobieństwo x liczby wystąpień w podanym okresie czasu u jest średnią liczbą wystąpień
- e = liczba Eulera, która jest podstawą logarytmu naturalnego, ok. wartość e wynosi 2,72
- x! = Jest znany jako silnia x. Silnia liczby jest iloczynem tej liczby całkowitej i wszystkich liczb całkowitych poniżej. Np. 4! = 4 * 3 * 2 * 1
Przykłady
Przykład 1
Weźmy prosty przykład wzoru na rozkład Poissona. Średnie wystąpienie zdarzenia w danym przedziale czasowym wynosi 10. Jakie byłoby prawdopodobieństwo wystąpienia tego zdarzenia 15 razy?
W tym przykładzie u = średnia liczba wystąpień zdarzenia = 10
A x = 15
Dlatego obliczenia można wykonać w następujący sposób:
P (15; 10) = e (- 10) * 10 15/15!
P (15; 10) = 0,0347 = 3,47%
W związku z tym prawdopodobieństwo wystąpienia tego zdarzenia wynosi 3,47% 15 razy.
Przykład nr 2
Wykorzystanie równania rozkładu Poissona można wyraźnie zobaczyć w celu poprawy produktywności i efektywności operacyjnej firmy. Można go użyć, aby dowiedzieć się, czy opłacalne jest otwarcie sklepu 24 godziny na dobę.
Powiedzmy, że Walmart w USA planuje otwierać swój sklep 24 godziny na dobę. Aby dowiedzieć się, czy ta opcja jest wykonalna, kierownictwo Walmart najpierw ustali średnią liczbę sprzedaży między północą a 8 rano. Teraz obliczy całkowite koszty operacyjne dla zmiany roboczej od 12:00 do 20:00. Na podstawie tych kosztów operacyjnych kierownictwo Walmart wie, jaka jest minimalna liczba jednostek sprzedaży, aby osiągnąć rentowność. Następnie, korzystając ze wzoru rozkładu Poissona, ustali prawdopodobieństwo tego numeru sprzedaży i sprawdzi, czy opłacalne jest otwieranie sklepu 24 godziny na dobę, czy nie.
Na przykład, powiedzmy, że średni koszt działania w ciągu dnia wynosi 10 000 USD od 12:00 do 20:00. Średnia sprzedaż wyniosłaby wówczas 10 200 USD. Aby osiągnąć próg rentowności, sprzedaż każdego dnia powinna wynosić 10 000 USD. Teraz dowiemy się, jakie jest prawdopodobieństwo dziennej sprzedaży o wartości 10 000 USD lub niższej, aby osiągnąć próg rentowności
Dlatego obliczenia można wykonać w następujący sposób:
P (10 000,10200) = ROZKŁ.POISSON (10200,10000; PRAWDA)
P (10 000, 10200) = 97,7%
W związku z tym istnieje prawdopodobieństwo 97,7% przy sprzedaży dziennie wynoszącej 10 000 USD lub mniej. W ten sam sposób istnieje prawdopodobieństwo 50,3% dla 10 200 USD lub mniej firmy Dell w ciągu dnia. Oznacza to, że prawdopodobieństwo sprzedaży między 10 000 a 10 200 wynosi 47,4%. Stąd jest duża szansa, że firma wyjdzie na zero.
Przykład nr 3
Innym zastosowaniem wzoru rozkładu Poissona jest przemysł ubezpieczeniowy. Firma prowadząca działalność ubezpieczeniową określa wysokość składki na podstawie liczby roszczeń i kwoty roszczeń w ciągu roku. Tak więc, aby oszacować wysokość składki, firma ubezpieczeniowa określi średnią liczbę roszczeń w ciągu roku. Następnie w oparciu o tę średnią określi również minimalną i maksymalną liczbę roszczeń, które można rozsądnie złożyć w ciągu roku. Na podstawie maksymalnej kwoty roszczenia oraz kosztu i zysku ze składki, firma ubezpieczeniowa ustali, jakiego rodzaju składka będzie odpowiednia, aby załamać biznes.
Powiedzmy, że średnia dzienna liczba szkód obsługiwanych przez firmę ubezpieczeniową wynosi 5. Dzięki temu dowiemy się, jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia 10 szkód dziennie.
Dlatego obliczenie rozkładu Poissona można wykonać w następujący sposób:
P (10; 5) = e (- 5). 5 10/10!
P (10; 5) = 1,81%
Stąd jest bardzo małe prawdopodobieństwo, że firma będzie miała do 10 szkód dziennie i na podstawie tych danych może dokonać swojej składki.
Trafność i zastosowania
Równanie rozkładu Poissona jest bardzo przydatne do znajdowania wielu zdarzeń w określonym przedziale czasu i znanej szybkości. Poniżej przedstawiono niektóre zastosowania wzoru:
- W branży call center, aby dowiedzieć się o prawdopodobieństwie połączeń, co zajmie więcej czasu niż zwykle, i na tej podstawie ustalić średni czas oczekiwania klientów.
- Aby poznać maksymalną i minimalną liczbę sprzedaży w nieparzystych godzinach i dowiedzieć się, czy opłacalne jest otwarcie sklepu w tym czasie.
- Aby dowiedzieć się o prawdopodobieństwie wystąpienia wielu wypadków drogowych w określonym przedziale czasu.
- Aby dowiedzieć się, jakie jest prawdopodobieństwo przybycia maksymalnej liczby pacjentów w określonym czasie,
- Liczba maksimum i minimum oraz kliknięć w witrynie.
- Aby poznać kroki odwiedzających w centrum handlowym, restauracji itp.
- Aby sprawdzić prawdopodobieństwo maksymalnej i minimalnej liczby roszczeń ubezpieczeniowych w ciągu roku.
Rozkład Poissona w programie Excel
Bardzo łatwo jest znaleźć rozkład Poissona za pomocą programu Excel. Istnieje funkcja programu Excel, która służy do sprawdzania prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia. Poniżej znajduje się składnia funkcji
Gdzie
- x = liczba wystąpień, dla których należy znać prawdopodobieństwo
- Średnia = średnia liczba wystąpień w okresie
- Skumulowany = jego wartość będzie Fałsz, jeśli potrzebujemy dokładnego wystąpienia zdarzenia, lub Prawda, jeśli liczba losowych zdarzeń będzie wynosić od 0 do tego zdarzenia.
Weźmy ten sam przykład 1, który wzięliśmy powyżej. Tutaj x = 15, średnia = 10, i będziemy musieli znaleźć prawdopodobieństwo dokładnej liczby zdarzeń. Zatem trzeci argument będzie fałszywy.
Stąd P (15; 10) = ROZKŁ.POISSON (15,10, FAŁSZ) = 0,0347 = 3,47%
Tutaj otrzymaliśmy dokładną wartość przy użyciu podstawowej formuły programu Excel.
Załóżmy w powyższym przykładzie; musimy znaleźć prawdopodobieństwo wystąpienia od 0 do 15; wtedy w formule zamiast fałszu użyjemy TRUE.
P (x <= 15) = ROZKŁ.POISSON (15,10, PRAWDA) = 95,1%
Oznacza to, że prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia od 0 do 15 z 15 włącznie wynosi 95,1%.
