Formuła do obliczenia rozkładu dwumianowego
Formuła rozkładu dwumianowego służy do obliczania prawdopodobieństwa uzyskania x sukcesów w n próbach eksperymentu dwumianowego, które są niezależne, a prawdopodobieństwo jest wyliczane przez połączenie liczby prób i liczby sukcesów reprezentowanych przez nCx jest mnożone przez prawdopodobieństwo podniesionego sukcesu do potęgi liczby sukcesów reprezentowanej przez px, która jest dalej mnożona przez prawdopodobieństwo niepowodzenia podniesione do potęgi różnicy między liczbą sukcesów a liczbą prób reprezentowanych przez (1-p) nx.
Prawdopodobieństwo uzyskania x sukcesów w n niezależnych próbach eksperymentu dwumianowego określa następujący wzór rozkładu dwumianowego:
P (X) = n C x p x (1-p) nx
gdzie p to prawdopodobieństwo sukcesu
W powyższym równaniu użyto n C x , co jest niczym innym jak formułą złożoną. Wzór do obliczania kombinacji jest podany jako n C x = n! / x! (nx)! gdzie n oznacza liczbę pozycji (niezależne próby), a x oznacza liczbę elementów wybieranych jednocześnie (sukcesy).
W przypadku, gdy n = 1 w rozkładzie dwumianowym, rozkład jest znany jako rozkład Bernoulliego. Średnia rozkładu dwumianowego to np. Wariancja rozkładu dwumianowego wynosi np (1-p).
Obliczanie rozkładu dwumianowego (krok po kroku)
Obliczenie rozkładu dwumianowego można uzyskać, wykonując następujące cztery proste kroki:
- Krok 1: Oblicz kombinację między liczbą prób i liczbą sukcesów. Wzór na n C x to gdzie n! = n * (n-1) * (n-2)… * 2 * 1. Dla liczby n silnię n można zapisać jako n! = n * (n-1)! Na przykład 5! to 5 * 4 * 3 * 2 * 1
- Krok 2: Oblicz prawdopodobieństwo sukcesu podniesione do potęgi liczby sukcesów o wartości p x .
- Krok 3: Oblicz prawdopodobieństwo niepowodzenia podniesione do potęgi różnicy między liczbą sukcesów a liczbą prób. Prawdopodobieństwo niepowodzenia wynosi 1-p. Zatem odnosi się to do uzyskania (1-p) nx
- Krok 4: Znajdź wynik uzyskany w kroku 1, kroku 2 i kroku 3.
Przykłady
Przykład 1
Liczba prób (n) wynosi 10. Prawdopodobieństwo sukcesu (p) wynosi 0,5. Oblicz rozkład dwumianowy, aby obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie sześciu sukcesów.
Rozwiązanie:
Użyj następujących danych do obliczenia rozkładu dwumianowego.
Obliczenie rozkładu dwumianowego można wykonać w następujący sposób,
P (x = 6) = 10 C 6 * (0,5) 6 (1-0,5) 10-6
= (10! / 6! (10-6)!) * 0,015625 * (0,5) 4
= 210 * 0,015625 * 0,0625
Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie 6 sukcesów będzie:
P (x = 6) = 0,2051
Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie 6 sukcesów wynosi 0,2051
Przykład nr 2
Menedżer towarzystwa ubezpieczeniowego przegląda dane polis sprzedawanych przez pracujących pod nim sprzedawców ubezpieczeń. Stwierdza, że 80% kupujących ubezpieczenie komunikacyjne to mężczyźni. Chce się dowiedzieć, że w przypadku losowego wyboru 8 właścicieli ubezpieczeń komunikacyjnych, jakie byłoby prawdopodobieństwo, że dokładnie 5 z nich to mężczyźni.
Rozwiązanie: Najpierw musimy dowiedzieć się, czym są n, p i x.
Obliczenie rozkładu dwumianowego można wykonać w następujący sposób,
P (x = 5) = 8 C 5 * (0,8) 5 (1-0,8) 8-5
= (8! / 5! (8-5)!) * 0,32768 * (0,2) 3
= 56 * 0,32768 * 0,008
Prawdopodobieństwo dokładnie 5 sukcesów będzie:
P (x = 5) = 0,14680064
Prawdopodobieństwo, że dokładnie 5 posiadaczy ubezpieczeń komunikacyjnych to mężczyźni, wynosi 0,14680064.
Przykład nr 3
Dyrekcja szpitala jest podekscytowana wprowadzeniem nowego leku do leczenia pacjentów onkologicznych, ponieważ szansa na skuteczne wyleczenie osoby jest bardzo wysoka. Prawdopodobieństwo skutecznego leczenia pacjenta lekiem wynosi 0,8. Lek podaje się 10 pacjentom. Znajdź prawdopodobieństwo skutecznego wyleczenia 9 lub więcej pacjentów.
Rozwiązanie: Najpierw musimy dowiedzieć się, co to jest n, p i x.
Musimy znaleźć prawdopodobieństwo skutecznego wyleczenia 9 lub więcej pacjentów. W ten sposób skutecznie leczy 9 lub 10 pacjentów
x (liczba, dla której musisz znaleźć prawdopodobieństwo) = 9 lub x = 10
Musimy znaleźć P (9) i P (10)
Obliczenie rozkładu dwumianowego w celu znalezienia P (x = 9) można wykonać w następujący sposób:
P (x = 9) = 10 C 9 * (0,8) 9 (1-0,8) 10-9
= (10! / 9! (10-9)!) * 0,134217728 * (0,2) 1
= 10 * 0,134217728 * 0,2
Prawdopodobieństwo, że 9 pacjentów będzie:
P (x = 9) = 0,2684
Obliczenie rozkładu dwumianowego w celu znalezienia P (x = 10) można wykonać w następujący sposób:
P (x = 10) = 10 C 10 * (0,8) 10 (1-0,8) 10-10
= (10! / 10! (10-10)!) * 0,107374182 * (0,2) 0
= 1 * 0,107374182 * 1
Prawdopodobieństwo 10 pacjentów będzie:
P (x = 10) = 0,1074
Dlatego P (x = 9) + P (x = 10) = 0,268 + 0,1074
= 0,3758
Zatem prawdopodobieństwo leczenia tym lekiem 9 lub więcej pacjentów wynosi 0,375809638.
Kalkulator rozkładu dwumianowego
Możesz użyć następującego kalkulatora rozkładu dwumianowego.
| n | |
| p | |
| x | |
| Formuła rozkładu dwumianowego = | |
| Formuła rozkładu dwumianowego = | n C x * p x * (1 -p) nx | |
| 0 C 0 * 0 0 * (1-0) 0-0 = | 0 |
Trafność i zastosowanie
- Są tylko dwa wyniki
- Prawdopodobieństwo każdego wyniku pozostaje stałe od próby do próby
- Istnieje ustalona liczba prób
- Każda próba jest niezależna, tzn. Wyklucza się wzajemnie
- Zapewnia nam rozkład częstości możliwej liczby pomyślnych wyników w danej liczbie prób, gdzie każda z tych danych prób ma takie samo prawdopodobieństwo sukcesu.
- Każda próba w eksperymencie dwumianowym może dać tylko dwa możliwe wyniki. Stąd nazwa to „dwumian”. Jeden z tych wyników jest znany jako sukces, a drugi jako porażka. Na przykład ludzie chorzy mogą zareagować na leczenie lub nie.
- Podobnie, gdy rzucamy monetą, możemy mieć tylko dwa rodzaje wyników: orła lub reszka. Rozkład dwumianowy jest rozkładem dyskretnym używanym w statystykach, który różni się od rozkładu ciągłego.
Przykładem eksperymentu dwumianowego jest rzucenie, powiedzmy, trzykrotnie monetą. Kiedy rzucamy monetą, możliwe są tylko dwa wyniki - orzeł i reszka. Prawdopodobieństwo każdego wyniku wynosi 0,5. Ponieważ moneta jest rzucana trzykrotnie, liczba prób jest ustalona, tj. 3. Inne rzuty nie wpływają na prawdopodobieństwo jednego rzutu.
Rozkład dwumianowy znajduje zastosowanie w statystyce nauk społecznych. Służy do tworzenia modeli dla dychotomicznych zmiennych wyniku, w przypadku których istnieją dwa wyniki. Przykładem tego jest to, czy wybory wygraliby Republikanie czy Demokraci.
Formuła rozkładu dwumianowego w programie Excel (z szablonem programu Excel)
Saurabh dowiedział się o równaniu rozkładu dwumianowego w szkole. Chce omówić tę koncepcję ze swoją siostrą i założyć się z nią. Myślał, że dziesięć razy rzuci bezstronną monetą. Chce postawić 100 dolarów na uzyskanie dokładnie pięciu reszek w 10 rzutach. W przypadku tego zakładu chce obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie pięciu ogonów w 10 rzutach.
Rozwiązanie: Najpierw musimy dowiedzieć się, co to jest n, p i x.
Istnieje wbudowana formuła rozkładu dwumianowego, czyli Excel
To BINOM.DIST (liczba sukcesów, prób, prawdopodobieństwo sukcesu, FAŁSZ).
Na przykład rozkład dwumianowy wyglądałby tak:
= ROZKŁ.DWUM (B2, B3, B4, FAŁSZ), gdzie komórka B2 reprezentuje liczbę sukcesów, komórka B3 - liczbę prób, a komórka B4 - prawdopodobieństwo sukcesu.
Dlatego obliczenie rozkładu dwumianowego będzie:
P (x = 5) = 0,24609375
Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie 5 ogonów w 10 rzutach wynosi 0,24609375
Uwaga: FAŁSZ w powyższym wzorze oznacza funkcję masy prawdopodobieństwa. Oblicza prawdopodobieństwo wystąpienia dokładnie n sukcesów z n niezależnych prób. TRUE oznacza funkcję dystrybucji skumulowanej. Oblicza prawdopodobieństwo wystąpienia co najwyżej x sukcesów z n niezależnych prób.
