Centralna definicja twierdzenia granicznego
Centralne twierdzenie graniczne stwierdza, że losowe próbki zmiennej losowej populacji o dowolnym rozkładzie będą zbliżać się do normalnego rozkładu prawdopodobieństwa wraz ze wzrostem wielkości próby i zakłada, że gdy wielkość próby w populacji przekracza 30, średnia próby, której średnia wszystkich obserwacji dla próby będzie bliska równej średniej dla populacji.
Centralny wzór twierdzenia granicznego
Omówiliśmy już, że gdy liczebność próby przekracza 30, rozkład przyjmuje postać rozkładu normalnego. Aby określić rozkład normalny zmiennej, ważne jest, aby znać jej średnią i wariancję. Rozkład normalny można określić jako
X ~ N (µ, α)
Gdzie
- N = liczba obserwacji
- µ = średnia z obserwacji
- α = odchylenie standardowe
W większości przypadków obserwacje nie ujawniają wiele w swojej surowej postaci. Dlatego konieczne jest ujednolicenie obserwacji, aby móc to porównać. Odbywa się to za pomocą Z-score. Wymagane jest obliczenie wskaźnika Z dla obserwacji. Wzór na obliczenie wyniku z to
Z = (X- µ) / α / √n
Gdzie
- Z = Z-score obserwacji
- µ = średnia z obserwacji
- α = odchylenie standardowe
- n = wielkość próby
Wyjaśnienie
Centralne twierdzenie graniczne stwierdza, że losowe próbki zmiennej losowej populacji o dowolnym rozkładzie będą zbliżać się do normalnego rozkładu prawdopodobieństwa wraz ze wzrostem wielkości próby. Centralne twierdzenie graniczne zakłada, że gdy liczebność próby w populacji przekroczy 30, to średnia z próby, będąca średnią wszystkich obserwacji dla próby, będzie bliska średniej dla populacji. Również odchylenie standardowe próby, gdy wielkość próby przekracza 30, będzie równe odchyleniu standardowemu populacji. Ponieważ próbka jest wybierana losowo z całej populacji, a wielkość próby jest większa niż 30, pomaga to w testowaniu hipotez i konstruowaniu przedziału ufności do testowania hipotez.
Przykłady formuły centralnego twierdzenia granicznego (z szablonem programu Excel)
Przykład 1
Zrozummy pojęcie rozkładu normalnego na przykładzie. Średni zwrot z funduszu wspólnego inwestowania wynosi 12%, a odchylenie standardowe od średniego zwrotu z inwestycji w fundusz wspólnego inwestowania wynosi 18%. Jeśli przyjmiemy, że rozkład zwrotu jest normalny, zinterpretujmy rozkład zwrotu z inwestycji funduszu wspólnego inwestowania.
Dany,
- Średni zwrot z inwestycji wyniesie 12%
- Odchylenie standardowe wyniesie 18%
Tak więc, aby znaleźć zwrot dla 95% przedziału ufności, możemy go znaleźć, rozwiązując równanie jako
- Górny zakres = 12 + 1,96 (18) = 47%
- Dolny zakres = 12 - 1,96 (18) = -23%
Wynik oznacza, że w 95% przypadków zwrot z funduszu inwestycyjnego będzie się mieścić w przedziale od 47% do -23%. W tym przykładzie wielkość próby, która jest zwrotem losowej próby złożonej z ponad 30 obserwacji zwrotu, dostarczy nam wyniku zwrotu populacji funduszu wspólnego inwestowania, ponieważ rozkład próby będzie miał rozkład normalny.
Przykład nr 2
Kontynuując ten sam przykład, określmy, jaki będzie wynik dla 90% przedziału ufności
Dany,
- Średni zwrot z inwestycji wyniesie 12%
- Odchylenie standardowe wyniesie 18%
Tak więc, aby znaleźć zwrot dla 90% przedziału ufności, możemy to znaleźć, rozwiązując równanie jako
- Górny zakres = 12 + 1,65 (18) = 42%
- Dolny zakres = 12 - 1,65 (18) = -18%
Wynik oznacza, że w 90% przypadków zwrot z funduszu inwestycyjnego będzie mieścił się w przedziale od 42% do -18%.
Przykład nr 3
Kontynuując ten sam przykład, określmy, jaki będzie wynik dla 99% przedziału ufności
Dany,
- Średni zwrot z inwestycji wyniesie 12%
- Odchylenie standardowe wyniesie 18%
Tak więc, aby znaleźć zwrot dla 90% przedziału ufności, możemy to znaleźć, rozwiązując równanie jako
- Górny zakres = 12 + 2,58 (18) = 58%
- Dolny zakres = 12 - 2,58 (18) = -34%
Wynik oznacza, że w 99% przypadków zwrot z funduszu inwestycyjnego będzie mieścił się w przedziale od 58% do -34%.
Trafność i zastosowanie
Centralne twierdzenie graniczne jest niezwykle korzystne, ponieważ pozwala badaczowi przewidzieć średnią i odchylenie standardowe całej populacji za pomocą próby. Ponieważ próba jest wybierana losowo z całej populacji, a wielkość próby jest większa niż 30, wówczas dowolna wielkość próby losowej pobrana z populacji będzie zbliżać się do rozkładu normalnego, co pomoże w testowaniu hipotez i konstruowaniu przedziału ufności dla testowanie hipotez. W oparciu o centralne twierdzenie graniczne badacz może wybrać dowolną próbę losową z całej populacji, a gdy wielkość próby jest większa niż 30,następnie może przewidzieć populację za pomocą próbki, ponieważ próbka będzie miała rozkład normalny, a także średnia i odchylenie standardowe próbki będzie takie samo jak średnia i odchylenie standardowe populacji.
