Formuła rozkładu normalnego
Rozkład normalny to rozkład symetryczny, tj. Wartości dodatnie i ujemne rozkładu można podzielić na równe połowy, a zatem średnia, mediana i mod będą równe. Ma dwa ogony, jeden jest znany jako prawy, a drugi jako lewy.
Wzór do obliczeń można przedstawić jako
X ~ N (µ, α)
Gdzie
- N = liczba obserwacji
- µ = średnia z obserwacji
- α = odchylenie standardowe
W większości przypadków obserwacje nie ujawniają wiele w swojej surowej postaci. Dlatego konieczne jest ujednolicenie obserwacji, aby móc to porównać. Odbywa się to za pomocą wzoru z-score. Wymagane jest obliczenie wskaźnika Z dla obserwacji.
Równanie dla obliczenia wyniku Z dla rozkładu normalnego jest przedstawione w następujący sposób:
Z = (X- µ) / α
Gdzie
- Z = Z-score obserwacji
- µ = średnia z obserwacji
- α = odchylenie standardowe
Wyjaśnienie
Rozkład jest normalny, gdy przebiega zgodnie z krzywą dzwonową. Jest znany jako krzywa dzwonu, ponieważ przyjmuje kształt dzwonu. Jedną z najważniejszych cech krzywej normalnej jest symetryczność, co oznacza, że wartości dodatnie i ujemne rozkładu można podzielić na równe połowy. Inną istotną cechą zmiennej jest to, że obserwacje będą się mieścić w granicach 1 odchylenia standardowego średniej 90% czasu. Obserwacje będą obejmowały dwa odchylenia standardowe od średniej 95% czasu i będą się mieścić w ramach trzech odchyleń standardowych od średniej 99% czasu.
Przykłady
Przykład 1
Średnia waga klasy uczniów to 65kg, a standardowa waga to 0,5kg. Jeśli przyjmiemy, że rozkład zwrotu jest normalny, zinterpretujmy dla wagi uczniów w klasie .
Gdy rozkład jest normalny, to 68% mieści się w granicach 1 odchylenia standardowego, 95% mieści się w granicach 2 odchyleń standardowych, a 99% mieści się w granicach 3 odchyleń standardowych.
Dany,
- Średni zwrot za wagę wyniesie 65 kg
- Odchylenie standardowe wyniesie 3,5 kg
Tak więc w 68% przypadków wartość rozkładu będzie mieściła się w zakresie jak poniżej,
- Górny zakres = 65 + 3,5 = 68,5
- Dolny zakres = 65-3,5 = 61,5
- Każdy ogon (68% / 2) = 34%
Przykład nr 2
Kontynuujmy ten sam przykład. Średnia waga klasy uczniów to 65kg, a norma wagowa to 3,5kg. Jeśli przyjmiemy, że rozkład zwrotu jest normalny, zinterpretujmy go dla wagi uczniów w klasie.
Dany,
- Średni zwrot za wagę wyniesie 65 kg
- Odchylenie standardowe wyniesie 3,5 kg
Tak więc w 95% przypadków wartość rozkładu będzie mieściła się w zakresie jak poniżej,
- Górny zakres = 65 + (3,5 * 2) = 72
- Dolny zakres = 65- (3,5 * 2) = 58
- Każdy ogon (95% / 2) = 47,5%
Przykład nr 3
Kontynuujmy ten sam przykład. Średnia waga klasy uczniów to 65kg, a norma wagowa to 3,5kg. Jeśli przyjmiemy, że rozkład zwrotu jest normalny, zinterpretujmy go dla wagi uczniów w klasie.
Dany,
- Średni zwrot za wagę wyniesie 65 kg
- Odchylenie standardowe wyniesie 3,5 kg
Tak więc w 99% przypadków wartość rozkładu będzie w zakresie jak poniżej,
- Górny zakres = 65+ (3,5 * 3) = 75,5
- Dolny zakres = 65- (3,5 * 3) = 54,5
- Każdy ogon (99% / 2) = 49,5%
Trafność i zastosowanie
Rozkład normalny jest podstawowym pojęciem statystycznym, ponieważ większość zmiennych losowych w finansach ma taką krzywą. Odgrywa ważną rolę w konstruowaniu portfeli. Okazało się, że poza finansami wiele rzeczywistych parametrów jest zgodnych z takim rozkładem. Na przykład, jeśli próbujemy znaleźć wzrost uczniów w klasie lub wagę uczniów w klasie, obserwacje rozkładają się normalnie. Podobnie, oceny z egzaminu również mają ten sam rozkład. Pomaga w znormalizowaniu ocen z egzaminu, jeśli większość uczniów uzyskała wyniki poniżej ocen pozytywnych, ustalając limit powiedzenia tylko tych, którzy nie zdali egzaminu, którzy uzyskali mniej niż dwa odchylenia standardowe.
