Wzór do obliczenia oczekiwanej wartości
W celu obliczenia średniej długookresowej wartości dostępnych zmiennych losowych stosuje się wzór na wartość oczekiwaną i zgodnie z wzorem prawdopodobieństwo wszystkich wartości losowych mnoży się przez odpowiednią prawdopodobną wartość losową, a wszystkie wypadkowe sumuje się w celu uzyskania wartość oczekiwana.
Matematycznie równanie wartości oczekiwanej przedstawiono poniżej,
Wartość oczekiwana = p 1 * a 1 + p 2 * a 2 +… + p n * a n = = Σ i n P i * a i
gdzie
- p i = prawdopodobieństwo wartości losowej
- a i = Prawdopodobna wartość losowa
Obliczanie oczekiwanej wartości (krok po kroku)
Obliczenie oczekiwanej wartości szeregu losowych wartości możemy wyprowadzić wykonując następujące kroki:
- Krok 1: Po pierwsze, określ różne prawdopodobne wartości. Na przykład różne prawdopodobne zwroty z aktywów mogą być dobrym przykładem takich losowych wartości. Prawdopodobne wartości są oznaczone przez i .
- Krok 2: Następnie określ prawdopodobieństwo każdej z wyżej wymienionych wartości, oznaczonej p i . Każde prawdopodobieństwo może być dowolną liczbą z przedziału od 0 do 1, tak aby suma prawdopodobieństw była równa jeden, tj. 0 ≤ p 1 , p 2 ,…., P n ≤ 1 ip 1 + p 2 +… . + p n = 1.
- Krok 3: Na koniec obliczamy oczekiwaną wartość wszystkich różnych prawdopodobnych wartości, jako iloczyn sumy każdej prawdopodobnej wartości i odpowiadającego jej prawdopodobieństwa, jak poniżej,
Wartość oczekiwana = p 1 * a 1 + p 2 * a 2 +… + p n * a n
Przykłady
Przykład 1
Weźmy przykład Bena, który zainwestował w dwa papiery wartościowe w ramach swojego portfela inwestycyjnego. Prawdopodobna stopa zwrotu z obu papierów wartościowych (papier P i Q) została przedstawiona poniżej. Na podstawie podanych informacji pomóż Benowi zdecydować, które zabezpieczenie ma zapewnić mu większe zyski.
Wykorzystamy poniższe dane do obliczenia oczekiwanej wartości.
W tym przypadku oczekiwaną wartością jest oczekiwany zwrot każdego papieru wartościowego.
Oczekiwany zwrot zabezpieczenia P.
Oczekiwany zwrot zabezpieczenia P można obliczyć jako:
- Oczekiwany zwrot (P) = p 1 (P) * a 1 (P) + p 2 (P) * a 2 (P) + p 3 (P) * a 3 (P)
- = 0,25 * (-5%) + 0,50 * 10% + 0,25 * 20%
Dlatego obliczenie oczekiwanego zwrotu jest następujące:
- Oczekiwany zwrot = 8,75%
Oczekiwany zwrot bezpieczeństwa Q
Oczekiwany zwrot z zabezpieczenia Q można obliczyć jako:
- Oczekiwany zwrot (Q) = p 1 (Q) * a 1 (Q) + p 2 (Q) * a 2 (Q) + p 3 (Q) * a 3 (Q)
- = 0,35 * (-2%) + 0,35 * 12% + 0,30 * 18%
Dlatego obliczenie oczekiwanego zwrotu jest następujące:
- Oczekiwany zwrot = 8,90%
Dlatego w przypadku Bena oczekuje się, że zabezpieczenie Q przyniesie wyższe zyski niż zabezpieczenie P.
Przykład nr 2
Weźmy inny przykład, w którym Jan ma ocenić wykonalność dwóch nadchodzących projektów rozwojowych (Projekt X i Y) i wybrać najkorzystniejszy. Według szacunków, Projekt X ma osiągnąć wartość 3,5 mln USD z prawdopodobieństwem 0,3 i osiągnąć wartość 1,0 mln USD z prawdopodobieństwem 0,7. Z drugiej strony oczekuje się, że Projekt Y osiągnie wartość 2,5 miliona dolarów z prawdopodobieństwem 0,4 i osiągnie wartość 1,5 miliona dolarów z prawdopodobieństwem 0,6. Określ dla Jana, który projekt będzie miał wyższą wartość po zakończeniu.
Wykorzystamy poniższe dane do obliczenia oczekiwanej wartości.
Oczekiwana wartość projektu X
Obliczenie oczekiwanej wartości Projektu X można wykonać w następujący sposób,
- Oczekiwana wartość (X) = 0,3 * 3500000 USD + 0,7 * 1000000 USD
Obliczenie oczekiwanej wartości projektu X będzie wynosić -
- Oczekiwana wartość (X) = 1750 000 USD
Oczekiwana wartość projektu Y
Obliczenie oczekiwanej wartości Projektu Y można wykonać w następujący sposób,
- Oczekiwana wartość (Y) = 0,4 * 2500000 USD + 0,6 * 1500000 USD
Obliczenie oczekiwanej wartości projektu Y będzie wynosić -
- Oczekiwana wartość = 1900000 USD
Dlatego po zakończeniu oczekuje się, że projekt Y będzie miał wyższą wartość niż projekt X.
Trafność i zastosowanie
Analityk musi zrozumieć pojęcie wartości oczekiwanej, ponieważ jest ono używane przez większość inwestorów do przewidywania długoterminowego zwrotu z różnych aktywów finansowych. Wartość oczekiwana jest powszechnie używana do wskazania przewidywanej wartości inwestycji w przyszłości. Na podstawie prawdopodobieństw możliwych scenariuszy analityk może obliczyć oczekiwaną wartość prawdopodobnych wartości. Chociaż pojęcie wartości oczekiwanej jest często używane w różnych modelach wielowymiarowych i analizach scenariuszy, jest stosowane głównie do obliczania oczekiwanego zwrotu.
